Curva logística (sigmoide)

Curva en forma de S que describe un crecimiento que empieza casi exponencial, se frena y se estabiliza al acercarse a un límite. La propuso Pierre-François Verhulst en 1838 para el crecimiento de una población con recursos limitados. Hoy se usa en ecología, epidemiología, química, difusión de tecnologías y aprendizaje automático.

Ecuación

L es el valor máximo (en ecología, la capacidad de carga), k la tasa de crecimiento y t₀ el punto medio, donde f vale L/2 y la curva tiene su máxima pendiente. La función es solución de la ecuación diferencial

que resume la idea del modelo: el crecimiento es proporcional a lo ya alcanzado y a lo que falta para llegar al límite. Cuando f es pequeña, el paréntesis vale casi 1 y el crecimiento es prácticamente exponencial; cerca de L, se anula. La curva es simétrica respecto de su punto medio.

Historia

Verhulst publicó la ecuación en 1838 y la llamó logistique en una memoria de 1845. Quedó olvidada hasta el siglo XX: Anderson McKendrick la usó en 1912 para el crecimiento de bacterias, y Raymond Pearl y Lowell Reed la redescubrieron en 1920 al ajustar la población de Estados Unidos. Zvi Griliches (1957) la aplicó a la adopción del maíz híbrido en ese país, un caso clásico de difusión tecnológica.

Usos

  • Poblaciones con recursos limitados.
  • Epidemias: el número acumulado de casos en los modelos más simples.
  • Reacciones autocatalíticas, en las que el producto acelera su propia formación.
  • Difusión de innovaciones: la proporción de adoptantes de una técnica a lo largo del tiempo.
  • Estadística y aprendizaje automático. La regresión logística convierte una combinación lineal de variables en una probabilidad. La función logística estándar, σ(x) = 1/(1 + e⁻ˣ), fue durante décadas la función de activación habitual en redes neuronales; en las redes profundas se prefieren hoy otras, como ReLU.

Acepciones a no confundir

  • Sigmoide designa cualquier curva en S. La logística es la más usada, pero no la única: la tangente hiperbólica es una logística desplazada y reescalada, y la curva de Gompertz, también en S, es asimétrica.
  • Mapa logístico. Versión discreta, xₙ₊₁ = r·xₙ·(1 − xₙ), que para ciertos valores de r produce oscilaciones y caos (May, 1976). Su comportamiento difiere del de la curva continua. Ver teoría del caos.

El problema de la extrapolación

En su primera mitad, una curva logística apenas se distingue de una exponencial, de modo que los datos iniciales dicen poco sobre dónde está el techo. Es uno de los argumentos del debate sobre la singularidad tecnológica: Theodore Modis (2012) sostiene que muchas tendencias tecnológicas que parecían exponenciales eran tramos iniciales de curvas logísticas.

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Fuentes

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